南開大學數學科學學院：《高等代數》考試大綱


（一）多項式


考試內容
數域；一元多項式；整除的概念及性質；最大公因式及輾轉相除法；互素的概念及性質；不可約多項式的概念及性質；因式分解及唯一性定理。
考試要求
1.掌握數域、一元多項式的概念，了解一元多項式的運算及性質。
2.掌握多項式整除的概念，了解相關的性質。
3.掌握最大公因式的概念，了解輾轉相除法。
4.理解互素的概念，掌握兩個一元多項式互素的充分必要條件。
5.了解不可約多項式的概念及其性質。
6.了解一般系數的多項式的因式分解定理，掌握復系數與實系數多項式的因式分解定理。

(二)行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質；行列式計算；行列式按行（列）展開；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
考試要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2.會應用行列式概念計算行列式，會利用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式，會運用矩陣的初等行（列）變換計算行列式。

(二)行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質；行列式計算；行列式按行（列）展開；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
考試要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2.會應用行列式概念計算行列式，會利用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式，會運用矩陣的初等行（列）變換計算行列式。

(二)行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質；行列式計算；行列式按行（列）展開；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
考試要求
1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2.會應用行列式概念計算行列式，會利用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式，會運用矩陣的初等行（列）變換計算行列式。

(三)向量和矩陣
考試內容
向量的線性組合和線性表示；向量組的等價；向量組的線性相關與線性無關；向量組的極大線性無關組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關系。
矩陣的概念；矩陣的基本運算；矩陣的轉置、伴隨矩陣、逆矩陣的概念和性質；矩陣可逆的充分必要條件；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價；分塊矩陣及其運算
考試要求
1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2.理解向量組線性相關、線性無關的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關、線性無關的方法。
3.理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4.理解向量組等價的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關系。
5.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，熟悉它們的基本性質。
6.掌握矩陣的數乘、加法、乘法、轉置等運算。掌握方陣的多項式概念。
7.理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的判別條件。理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
8.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的條件。理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關系，以及矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關系。了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
9.了解分塊矩陣及其運算。

(三)向量和矩陣
考試內容
向量的線性組合和線性表示；向量組的等價；向量組的線性相關與線性無關；向量組的極大線性無關組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關系。
矩陣的概念；矩陣的基本運算；矩陣的轉置、伴隨矩陣、逆矩陣的概念和性質；矩陣可逆的充分必要條件；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價；分塊矩陣及其運算
考試要求
1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2.理解向量組線性相關、線性無關的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關、線性無關的方法。
3.理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4.理解向量組等價的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關系。
5.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，熟悉它們的基本性質。
6.掌握矩陣的數乘、加法、乘法、轉置等運算。掌握方陣的多項式概念。
7.理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的判別條件。理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
8.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的條件。理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關系，以及矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關系。了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
9.了解分塊矩陣及其運算。

(三)向量和矩陣
考試內容
向量的線性組合和線性表示；向量組的等價；向量組的線性相關與線性無關；向量組的極大線性無關組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關系。
矩陣的概念；矩陣的基本運算；矩陣的轉置、伴隨矩陣、逆矩陣的概念和性質；矩陣可逆的充分必要條件；矩陣的初等變換和初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價；分塊矩陣及其運算
考試要求
1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2.理解向量組線性相關、線性無關的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關、線性無關的方法。
3.理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4.理解向量組等價的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關系。
5.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，熟悉它們的基本性質。
6.掌握矩陣的數乘、加法、乘法、轉置等運算。掌握方陣的多項式概念。
7.理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的判別條件。理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
8.掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的條件。理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關系，以及矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關系。了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
9.了解分塊矩陣及其運算。

(四)線性方程組
考試內容
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質和解的結構；齊次線性方程組的基礎解系和通解；解空間及其維數；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會用克萊姆法則求解線性方程組。
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

(四)線性方程組
考試內容
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質和解的結構；齊次線性方程組的基礎解系和通解；解空間及其維數；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會用克萊姆法則求解線性方程組。
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

(四)線性方程組
考試內容
線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質和解的結構；齊次線性方程組的基礎解系和通解；解空間及其維數；非齊次線性方程組的通解。
考試要求
1.會用克萊姆法則求解線性方程組。
2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

(五)二次型
考試內容
二次型及其矩陣表示；非退化線性替換與矩陣合同；二次型的秩；慣性定理；二次型的標準形和規范形；正定二次型及實對稱矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質，了解二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關系。
2.理解二次型的標準形、秩、規范形的概念以及慣性定理，了解復對稱矩陣合同的充分必要條件。
3.會用配方法化二次型為標準形。
4.理解二次型及實對稱矩陣正定的概念及性質，掌握二次型及實對稱矩陣正定的判別法。

(五)二次型
考試內容
二次型及其矩陣表示；非退化線性替換與矩陣合同；二次型的秩；慣性定理；二次型的標準形和規范形；正定二次型及實對稱矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質，了解二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關系。
2.理解二次型的標準形、秩、規范形的概念以及慣性定理，了解復對稱矩陣合同的充分必要條件。
3.會用配方法化二次型為標準形。
4.理解二次型及實對稱矩陣正定的概念及性質，掌握二次型及實對稱矩陣正定的判別法。

(五)二次型
考試內容
二次型及其矩陣表示；非退化線性替換與矩陣合同；二次型的秩；慣性定理；二次型的標準形和規范形；正定二次型及實對稱矩陣的正定性
考試要求
1.掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質，了解二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關系。
2.理解二次型的標準形、秩、規范形的概念以及慣性定理，了解復對稱矩陣合同的充分必要條件。
3.會用配方法化二次型為標準形。
4.理解二次型及實對稱矩陣正定的概念及性質，掌握二次型及實對稱矩陣正定的判別法。

(六)線性空間
考試內容
集合與映射的基本概念；線性空間的概念與基本性質；線性空間的維數、基與向量的坐標；線性空間中的基變換與坐標變換；過渡矩陣；線性子空間及其運算；線性空間的同構。
考試要求
1.熟悉集合與映射的概念。
2.理解線性空間的概念，掌握線性子空間的判定方法。
3.理解線性空間的維數、基和坐標。
4.掌握線性空間的基變換和坐標變換及過渡矩陣。
5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數的方法。
6.理解子空間的交、和、直積運算及其性質。
7.了解線性空間同構的概念，了解同構映射的性質。

(六)線性空間
考試內容
集合與映射的基本概念；線性空間的概念與基本性質；線性空間的維數、基與向量的坐標；線性空間中的基變換與坐標變換；過渡矩陣；線性子空間及其運算；線性空間的同構。
考試要求
1.熟悉集合與映射的概念。
2.理解線性空間的概念，掌握線性子空間的判定方法。
3.理解線性空間的維數、基和坐標。
4.掌握線性空間的基變換和坐標變換及過渡矩陣。
5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數的方法。
6.理解子空間的交、和、直積運算及其性質。
7.了解線性空間同構的概念，了解同構映射的性質。

(六)線性空間
考試內容
集合與映射的基本概念；線性空間的概念與基本性質；線性空間的維數、基與向量的坐標；線性空間中的基變換與坐標變換；過渡矩陣；線性子空間及其運算；線性空間的同構。
考試要求
1.熟悉集合與映射的概念。
2.理解線性空間的概念，掌握線性子空間的判定方法。
3.理解線性空間的維數、基和坐標。
4.掌握線性空間的基變換和坐標變換及過渡矩陣。
5.理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數的方法。
6.理解子空間的交、和、直積運算及其性質。
7.了解線性空間同構的概念，了解同構映射的性質。

七)線性變換
考試內容
線性變換的概念和簡單性質；線性變換的運算；線性變換的矩陣；線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間；線性變換的特征多項式及Hamilton-Caylay定理；矩陣相似的概念及性質；矩陣可對角化的充分必要條件；線性變換的值域與核；線性變換的不變子空間。
考試要求
1.理解線性變換的概念，了解線性變換的性質。
2.熟悉線性變換的運算及其性質。
3.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對應。
4.理解線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質，會求線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
5.了解關于特征多項式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
6.理解線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
7.理解矩陣相似的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為對角矩陣的方法。
8.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

七)線性變換
考試內容
線性變換的概念和簡單性質；線性變換的運算；線性變換的矩陣；線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間；線性變換的特征多項式及Hamilton-Caylay定理；矩陣相似的概念及性質；矩陣可對角化的充分必要條件；線性變換的值域與核；線性變換的不變子空間。
考試要求
1.理解線性變換的概念，了解線性變換的性質。
2.熟悉線性變換的運算及其性質。
3.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對應。
4.理解線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質，會求線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
5.了解關于特征多項式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
6.理解線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
7.理解矩陣相似的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為對角矩陣的方法。
8.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

七)線性變換
考試內容
線性變換的概念和簡單性質；線性變換的運算；線性變換的矩陣；線性變換（矩陣）的特征值、特征向量和特征子空間；線性變換的特征多項式及Hamilton-Caylay定理；矩陣相似的概念及性質；矩陣可對角化的充分必要條件；線性變換的值域與核；線性變換的不變子空間。
考試要求
1.理解線性變換的概念，了解線性變換的性質。
2.熟悉線性變換的運算及其性質。
3.理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對應。
4.理解線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質，會求線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
5.了解關于特征多項式的Hamilton-Caylay定理，了解矩陣的跡。
6.理解線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
7.理解矩陣相似的概念、性質及矩陣可對角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為對角矩陣的方法。
8.理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。

(

(八)λ-矩陣

考試內容
λ-矩陣的概念；λ-矩陣的初等變換；λ-矩陣間的等價概念及等價的充分必要條件；λ-矩陣在初等變換下的標準形；λ-矩陣的行列式因子、不變因子及兩者之間的關系；矩陣相似的條件；初等因子的概念；復方陣的若當標準形。
考試要求
1.了解λ-矩陣的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩陣的初等變換、等價等概念，掌握判定λ-矩陣等價的充分必要條件。
3.會用初等變換求λ-矩陣的標準形。
4.掌握λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念及三者之間的關系。
5.掌握兩個矩陣相似的充分必要條件。
6.了解復方陣的若當標準形。

(

(八)λ-矩陣

考試內容
λ-矩陣的概念；λ-矩陣的初等變換；λ-矩陣間的等價概念及等價的充分必要條件；λ-矩陣在初等變換下的標準形；λ-矩陣的行列式因子、不變因子及兩者之間的關系；矩陣相似的條件；初等因子的概念；復方陣的若當標準形。
考試要求
1.了解λ-矩陣的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩陣的初等變換、等價等概念，掌握判定λ-矩陣等價的充分必要條件。
3.會用初等變換求λ-矩陣的標準形。
4.掌握λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念及三者之間的關系。
5.掌握兩個矩陣相似的充分必要條件。
6.了解復方陣的若當標準形。

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