《數(shù)學分析》考試大綱

1.實數(shù)集與函數(shù)

(1)掌握集合的概念與運算，區(qū)間與鄰域。理解映射與一一對應概念。了解幾個重要不等式。理解確界原理。

(2)掌握函數(shù)概念。掌握復合函數(shù)方法。了解反函數(shù)存在定理。理解初等函數(shù)。

(3)掌握函數(shù)的幾種特性(單調性、有界性、奇偶性、周期性等)

2. 數(shù)列極限

(1)理解數(shù)列極限概念。

(2)掌握收斂數(shù)列的性質。理解數(shù)列極限存在的條件。

3. 函數(shù)極限

(1)理解函數(shù)極限概念，掌握ε-δ論證方法。

(2)掌握函數(shù)極限的性質。理解函數(shù)極限存在的條件。

(3)掌握兩個重要極限的應用。

(4)掌握無窮小與無窮大概念。

4. 函數(shù)的連續(xù)性

(1)理解函數(shù)的連續(xù)與間斷概念。

(2)了解連續(xù)函數(shù)的性質。了解復合函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性。理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。

(3)理解函數(shù)的一致連續(xù)性。理解初等函數(shù)的連續(xù)性。

5. 導數(shù)和微分

(1)掌握導數(shù)概念。

(2)掌握求導法則與導數(shù)計算。

(3)理解微分概念。

(4)理解高階導數(shù)與高階微分

6. 微分中值定理及其應用

(1)理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。

(2)掌握Taylor公式和L’Hospital法則。

(3)理解函數(shù)的凸性及其性質。

(4)掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)及函數(shù)作圖。

7. 實數(shù)的完備性

(1)理解子列概念。理解致密性定理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理。理解實數(shù)連續(xù)性定理的等價性。

(2)了解上、下極限概念。

8.不定積分

(1)理解原函數(shù)與不定積分概念。掌握基本積分公式和不定積分的運算法則。

(2)掌握換元積分法與分部積分法。

(3)掌握有理函數(shù)的不定積分，三角函數(shù)的不定積分和某些無理函數(shù)的不定積分。

9. 定積分

(1)理解定積分概念。掌握Newton-Leibniz公式。

(2)了解Darboux上、下和與Darboux上、下積分。理解可積充要條件和可積函數(shù)類。

(3)理解定積分性質。掌握變限積分及其性質。理解積分中值定理。

10. 定積分的應用

(1)理解微元法的基本思想。掌握用定積分計算幾何問題 (平面圖形面積，已知截面函數(shù)的立體體積，平面曲線弧長，旋轉體的體積與側面積)。

(2)掌握定積分計算物理問題 (變力做功，側壓力，質量與質心計算，引力問題)。掌握曲率計算。了解定積分的近似計算。

11. 反常積分

(1)理解反常積分概念

(2)理解無窮積分與瑕積分的收斂與發(fā)散概念。掌握斂散性判別法(比較法、Cauchy收斂準則、Dirichlet判別法與Abel判別法)。

12. 數(shù)項級數(shù)

(1)理解級數(shù)的收斂與發(fā)散概念。理解收斂級數(shù)的性質，Cauchy收斂準則。掌握正項級數(shù)的判別方法 (基本定理，比較法、比值法、根值法、積分法)。

(2)理解絕對收斂與條件收斂。掌握交錯級數(shù)的Leibniz判斂法，任意項級數(shù)的Dirichlet判別法與Abel判別法。

(3)了解級數(shù)的重排，級數(shù)的乘法，無窮乘積。

13. 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

(1)理解點態(tài)收斂與一致收斂概念。掌握函數(shù)列與函數(shù)級數(shù)一致收斂及判別法。

(2)理解一致收斂函數(shù)列與函數(shù)級數(shù)的分析性質。

14. 冪級數(shù)

(1)掌握冪級數(shù)的收斂半徑的求法，收斂區(qū)間與收斂域。

(2)掌握冪級數(shù)的和函數(shù)計算。掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開式。

15. 傅里葉級數(shù)

(1)理解傅里葉級數(shù)的概念。會將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。

(2)理解以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式。

16. 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

(1)理解平面點集，平面點列極限。了解R2上完備性定理。理解多元函數(shù)概念。

(2)掌握二元函數(shù)的極限與連續(xù)。理解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。

17. 多元函數(shù)微分學

(1)理解偏導數(shù)與全微分的概念。掌握偏導數(shù)與全微分的計算。

(2)掌握復合函數(shù)的微分法，及方向導數(shù)與梯度的計算。

(3)理解多元函數(shù)的Taylor公式。

(4)掌握二元函數(shù)的極值與最值。

18. 隱函數(shù)存在定理及其應用

(1)理解隱函數(shù)概念。理解隱函數(shù)存在定理。

(2)掌握隱函數(shù)的微分法。了解隱函數(shù)組概念和存在定理。

(3)掌握空間曲線的切線和法面，空間曲面的切面和法線。

(4)掌握條件極值與Lagrange乘數(shù)法，最小二乘法。

19. 含參變量積分

(1)理解含參變量常義積分的分析性質。

(2)理解含參變量反常積分的一致收斂性概念。

(3)掌握一致收斂性判別法。理解一致收斂性積分的分析性質及其應用。

(4)了解Euler積分。

20. 曲線積分

(1)理解兩類曲線積分的概念與性質。

(2)掌握兩類曲線積分的計算。

(3)了解兩類曲線積分的聯(lián)系。

21.重積分

(1)理解二重積分概念。理解可積性充要條件。了解重積分的基本性質。理解三重積分概念。

(2)掌握二重積分與三重積分的計算，理解重積分的變量替換。

(3)掌握格林公式。理解曲線積分與路徑無關的條件。

(4)掌握極坐標、柱面坐標與球面坐標的計算法。

(5)掌握重積分的幾何應用與物理應用。

22. 曲面積分

(1)理解兩類曲面積分的概念與性質。

(2)掌握第一類曲面積分的計算。

(3)理解曲面的側，掌握第二類曲面積分的計算。

(4)了解兩類曲面積分的聯(lián)系。

(5)掌握Gauss公式和Stokes公式。

參考資料書：

《數(shù)學分析》(第4版，上、下冊) 華東師范大學數(shù)學系 高等教育出版社 2010

《吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解》(一至六冊) 費定暉等，山東科學技術出版社 2012