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圖書簡介

本書是著名數學家G.波利亞撰寫的一部經典名著，書中討論的是自然科學、特別是數學領域中與嚴密的論證推理完全不同的一種推理方法——合情推理（即猜想）。本書通過許多古代著名的猜想，討論了論證方法，闡述了作者的觀點：不但要學習論證推理，也要學習合情推理，以豐富人們的科學思想，提高辯證思維能力，本書的例子不僅涉及數學各學科，也涉及到物理學，全書內容豐富，談古論今，敘述生動，能使人看到數學中真正的奧妙。
全書共分兩卷，第一卷為數學中的歸納和類比，第二卷為合情推理模式，此冊為第一卷，主要講述數學中各種合情推理的實例。本書可供大學數學系師生、中學數學教師，數學研究人員及數學愛好者閱讀。
目錄
譯者的話
序言
對讀者的提示
第一章 歸納方法
引言
1.經驗和信念
2.啟發性聯想
3.支持性聯想
4.歸納的態度
第一章 的例題和注釋，l～14.［12.是與非.13.經驗與行為.14.邏輯學家、數學家、物理學家和工程師.］
第二章 一般化、特殊化、類比
1.一般化、特殊化、類比和歸納
2.一般化
3.特殊化
4.類比
5.一般化、特殊化和類比
6.由類比作出的發現
7.類比和歸納
第二章的例題和注釋，1～46；［第一部分，1～20；第二部分，21～46］.［1.正確的推廣.5.一個極端的特殊情形.7.起主導作用的特殊情形.10.有代表性的特殊情形.11.可類比的情形.18.偉大的類比.19.明確的類比.20.幾位數學家的名句摘錄.21.猜想E.44.對猜想的一個疑問和證明的第一步嘗試.45.證明的第二步嘗試.46.類比的危險.］
第三章 立體幾何中的歸納推理
1.多面體
2.支持猜想的第一批事實
3.支持猜想的更多事實
4.一次嚴格的檢驗
5.驗證再驗證
6.一種很不同的情形
7.類比
8.空間的分割
9.修改一下問題的提法
10.一般化、特殊化、類比
11.一個類似的問題
12.類似問題的一張表格
13.解決一大批問題有時比解決單獨一個問題更容易
14.一個猜想
15.預言與證明
16.再來一次，使它更好
17.歸納法引向演繹法；特例引向一般證明
18.更多的猜想
第三章的例題和注釋，l～41.[21.歸納過程：思想的適應，語言的適應.31.笛卡兒對多面體的研究工作.36.立體補角，互補球面多邊形.]
第四章 數論中的歸納方法
1.邊長為整數的直角三角形
2.平方和
3.關于四奇數平方和問題
4.考察一個例子
5.把觀察結果列成表
6.有什么規則
7.關于歸納發現未知事物的性質
8.關于歸納證據的性質
第四章的例題和注釋,1～26.[1.符號表示法.26.歸納法的危險.]
第五章 歸納法雜例
l.函數的展開式
2.近似式
3.極限
4.設法推翻它
5.設法證明它
6.歸納階段的作用
第五章的例題和注釋，1～18.［15.解釋觀察到的規律性.16.把觀察到的事實進行分類.18.差別是什么？］
第六章 更一般性的陳述
1.歐拉
2.歐拉的研究報告
3.從實踐到抽象的一般觀點
4.歐拉研究報告的概述
第六章的例題和注釋，l～25.［1.母函數.7.平面幾何的一個組合問題.10.平方和.19.另一個遞推公式.20.整數因子和的另一個奇特規律.24.歐拉怎樣遺漏一個發現.25.歐拉定理關于σ(n)的一種推廣.］
第七章 數學歸納法
1.歸納階段
2.論證階段
3.研究的飛躍
4.數學歸納法的技巧
第七章的例題和注釋，l～18.［12.多證可能反而更省事.14.權衡你的定理.15.展望.17.任何n個數都相等嗎？］
第八章 極大和極小
1.模式
2.例子
3.相切的等高線模式
4.兩個例子
5.局部變動的模式
6.算術平均與幾何平均的定理及其初步推論
第八章的例題和注釋，1～63；[ 第一部分，1～32；第二部分，33～63].[1.平面幾何中的最小和最大距離.2.空間幾何中的最小和最大距離.3.平面上的等高線.4.空間中的等值面.11.穿過尊等高線的原則.22.局部變動原則.23.極值的存在性.24.局部變動模式的一個變形：無限過程.25.局部變動模式的另一個變形：有限過程.26.用圖示比較.33.多邊形和多面體.面積和周長.體積和表面.34.具有正方形底的正棱柱.35.正圓柱.36.一般的正棱柱.37.具有正方形底的正對頂棱錐.38.正對頂錐.39.一般的正對頂棱錐.43.幾何應用于代數.45.代數應用于幾何.51.具有正方形底的正棱錐.52.正圓錐.53.一般的正棱錐.55.開蓋盒子.56.槽.57.片.62.郵政局問題.63.開普勒問題.]
第九章 物理數學
1.光學解釋
2.力學解釋
3.反復解釋
4.吉恩·伯努利關于捷線的發現
5.阿基米德關于積分法的發現
第九章的例題和注釋，1～38.［3.內接于已知三角形中具有最小周長的三角形.9.空間中四點交通中心.10.平面上四點交通中心.11.四點交通網.12.打開與拉直.13.彈子.14.地球物理勘查.23.多面體表面上的最短線.24.曲面上的最短線（測地線）.26.折紙法的一個設計.27.擲骰子.28.洪水.29.不像井那么深.30.一種常用的極端情形.32.變分法.33.從截面平衡到立體平衡.38.阿基米德方法的回顧。］
第十章 等周問題
1.笛卡兒的歸納理由
2.潛在的理由
3.物理原因
4.瑞利的歸納理由
5.導出結論
6.證明結論
7.非常密切的關系
8.等周定理的三種形式
9.應用與問題
第十章的例題和注釋，1～43；[第一部分，1～15；第二部分，16～43］.［1.回顧.2.你能用不同的方法推出某些部分的結果嗎？3.比較詳細地重新敘述.7.你能將此方法用于其他某些問題嗎？8.等周定理的更清晰的形式.16.桿和繩.21.兩根桿和兩條繩.25.立體幾何中的泰都問題.27.平面區域的等分錢.34.封閉曲面的等分線.40.具有許多完美性的圖形.41.一種類似的情形.42.正立體.43.歸納理由］
第十一章 更多種類的合情推理
1.猜一猜
2.根據有關情形判定
3.根據一般情形判定
4.提出一個比較簡單的猜想
5.背景
6.無窮盡的過程
7.常用的啟發性假設
第十一章的例題和注釋，1～23.［16.一般情形.19.沒有主意是最不好的.20.一些常用的啟發性假設.21.樂觀的報酬.23.數值計算與工程師.]
后紀
問題的解答
參考文獻

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