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825-線性代數與常微分方程

一、考查目標

線性代數與常微分方程是為招收理學數學學院各專業碩士研究生而設置的具有選拔功能的考試科目。其目的是科學、公平、有效地測試考生是否具備攻讀數學專業碩士所必須的基本素質、一般能力和培養潛能，以利用選拔具有發展潛力的優秀人才入學，它的主要目的是測試考生對線性代數及常微分方程內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。要求考生比較系統地理解線性代數及常微分方程的基本概念和基本理論，掌握線性代數及常微分方程理論的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試形式和試卷結構

1. 試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。

2. 答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

3. 題型結構

題型為計算題及證明題。

三、考查內容及要求

Ⅰ.常微分方程

1.微分方程的一些基本概念

(1)考試內容

1)常微分方程

2)階數

3)線性與非線性

4)解、隱式解 、通解、特解

(2) 考試要求

1)了解微分方程與客觀世界中某些實際問題的關系

2)掌握微分方程中線性與非線性、通解與特解等基本概念

3)了解一階方程及其解的幾何意義

2.一階微分方程的初等解法

(1)考試內容

1)變量分離方程，齊次方程及可化為變量分離的方程

2)線性方程 ，貝努利方程

3)恰當方程的概念，充要條件，恰當方程的通解。積分因子的概念及其求法

4)一階隱式方程(四種類型方程)的解法

(2)考試要求

1)能正確的識別一階方程的類型

2)掌握變量分離方程、齊次方程及可化為變量分離方程的解法。

3)掌握一階線性方程、貝努利方程的解法

4)掌握恰當方程的解法及求積分因子的基本方法

5)掌握一階隱式方程的解法

3.一階微分方程的存在定理

(1)考試內容

1)一階微分方程解的存在唯一性定理 求近似解及誤差估計

2)有界及無界區域中解的延拓定理

3)解對初值的連續依賴和可微性定理

4)奇解概念、求法及克萊羅方程

(2)考試要求

1)理解和掌握存在唯一性定理及其證明

2)會求方程的近似解并估計其誤差

3)了解解的延拓定理

4)了解解對初值的連續依賴定理和解對初值可微性定理

5)理解奇解的概念并會求方程的奇解

6)掌握克萊羅方程的解法

4.高階微分方程

(1)考試內容

1)齊線性方程解的性質和結構

2)非齊線性方程通解的結構和常數變易法

3)常系數齊次線性方程通解的求法，

4)常系數非齊次方程特解的求法

5)高階方程的降階

(2)考試要求

1)掌握齊次線性方程解的性質和通解的結構

2)熟練地求解常系數齊次及非齊次線性方程

3)會用降價法求高階方程的解

5.線性微分方程組

(1)考試內容

1)一階線性方程組的存在唯一性定理

2)線性方程組的一般理論

3)常系數線性方程組的標準基解矩陣

4)基解矩陣的計算

(2)考試要求

1)理解一階線性方程組的存在唯一性定理

2)理解線性方程組解的性質

3)掌握線性方程組通解的結構，會用常數變易法求非齊線性方程組的一個解向量

4)會求常系數線性方程組的基解矩陣

Ⅱ.線性代數

1.行列式

(1)考試內容

1)行列式的定義、基本性質

2)行列式的計算

3)行列式按行(列)展開

(2)考試要求

1)理解行列式的概念，會用行列式的性質計算行列式

2)會用克萊姆法則求解線性方程組

3)掌握行列式按行(列)展開的應用

2.線性方程組

(1)考試內容

1)線性相關(無關)性，向量組的秩

2)矩陣的秩

3)齊次線性方程組的基礎解系，通解

4)非齊次線性方程組有解的充要條件、解的結構與通解

(2)考試要求

1)會討論向量組的線性相關(無關)性，會計算矩陣的秩

2)會計算齊次線性方程組的基礎解系，通解

3)掌握非齊次線性方程組有解的充要條件、會計算其通解

4)掌握齊次線性方程組的基礎解系和矩陣秩的聯系

3.矩陣

(1)考試內容

1)矩陣的運算和性質，矩陣的逆

2)初等變換和初等矩陣

3)乘積矩陣的秩和行列式

4)分塊矩陣的應用

(2)考試要求

1)理解和掌握矩陣的運算和性質

2)會求矩陣的逆

3)掌握初等變換和初等矩陣的聯系

4)掌握分塊矩陣的應用

4.二次型

(1)考試內容

1)二次型的標準型，矩陣的合同關系

2)慣性定理

3)正定矩陣和正定二次型

4)半正定矩陣和半正定二次型

(2)考試要求

1)掌握二次型的標準型的求法

2)掌握慣性定理及其應用

3)熟練掌握正定矩陣和正定二次型

4)了解半正定矩陣和半正定二次型

5.線性空間

(1)考試內容

1)線性空間的基本概念、基和維數

2)線性空間的子空間、子空間的運算，維數公式

3)線性空間的直和分解和線性空間的同構

(2)考試要求

1)掌握線性空間的基本概念、基和維數

2)掌握子空間的運算，維數公式

3)掌握線性空間的直和分解

6.線性變換

(1)考試內容

1)線性變換與矩陣

2)特征值和特征向量，不變子空間

3)矩陣的特征多項式和最小多項式

4)可對角化的矩陣

(2)考試要求

1)掌握線性變換和矩陣之間的對應關系

2)掌握特征值和特征向量的計算

3)掌握矩陣可對角化的等價條件

4)了解線性空間相對于一個線性變換的直和分解及其應用

7.

(1)考試內容

1)多項式矩陣的運算和等價，多項式矩陣的帶余除法

2)數字矩陣的相似等價條件

3)行列式因子、不變因子、初等因子

4)矩陣的若當標準型和有理標準型

(2)考試要求

1)掌握矩陣的相似等價條件

2)掌握初等因子的計算，會計算矩陣的若當標準型

3)掌握矩陣的最小多項式與不變因子的關系

4)了解矩陣的有理標準型

8.歐式空間

(1)考試內容

1)歐式空間的基本概念、內積的性質

2)標準正交基，正交變換與正交矩陣，對稱變換與對稱矩陣

3)實對稱矩陣的特征值、特征向量

4)實二次型的主軸問題

(2)考試要求

1)掌握歐式空間的基本概念、內積的性質

2)掌握實對稱矩陣的相似標準型

3)掌握正交矩陣的性質

4)了解歐式空間關于子空間的直和分解