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南京信息工程大學碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

科目代碼：702

科目名稱：數學分析

考試內容:

一、實數集與函數

1 實數集及其性質 2 確界定義與確界原理 3 函數概念 4有某些特性的函數(有界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數)

二、數列極限

1 數列極限概念 2 收斂數列的性質(唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算) 3 數列極限存在的條件：包括單調有界定理與柯西(Cauchy)準則

三、函數極限

1 函數極限概念 2 函數極限的性質(唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運算) 3 函數極限存在的條件：包括歸結原則(Heine 定理)，單調有界定理與柯西準則 4 兩個重要極限 5 無窮小量，無窮大量, 非正常極限，階的比較，曲線的漸近線

四、函數的連續性

1 連續性概念，間斷點及其分類 2 連續函數的性質(有界性、保號性、連續函數的四則運算、復合函數的連續性、反函數的連續性;閉區間上連續函數的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續性) 3 初等函數的連續性

五、導數與微分

1 導數的概念 2 求導法則 3 微分概念 4 高階導數與高階微分 5參量方程所確定的函數的導數

六、微分中值定理及其應用

1 中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理) 2 不定式極限 3 泰勒公式(及其皮亞諾余項與拉格朗日余項、一些常用初等函數的泰勒展開式、應用于近似計算) 4 函數的單調性、極值、最大值與最小值 5 函數的凸性與拐點 6 函數圖象的討論

七、實數完備性

1 實數集完備性的基本定理的應用 2 閉區間上連續函數性質的證明

第八章 不定積分

1原函數與不定積分概念，基本積分公式 2 換元積分法與分部積分法 3 有理函數和可化為有理函數的積分

九、定積分

1定積分的概念及其幾何意義 2 可積條件的應用(包括必要條件，可積準則)，三類可積函數 3 定積分的性質(線性運算法則、區間可加性、不等式性質、絕對可積性，積分中值定理) 4 微積分學基本定理，定積分的分部積分法與換元法

十、反常積分

1無窮限反常積分概念、柯西準則，絕對收斂與條件收斂 2無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法及p-函數判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法 3無界函數反常積分概念，無界函數反常積分比較判別法及p-函數判別法

十一、定積分的應用

1 平面圖形的面積 2 由截面面積求體積、旋轉體的體積 3 曲線的弧長與曲率 4 旋轉曲面的面積

十二、數項級數

1 級數收斂的概念，柯西收斂準則，收斂級數的性質 2 正項級數收斂判別法(比較判別法、p-級數判別法、比式與根式判別法、積分判別法) 3 一般項級數的絕對收斂與條件收斂、交錯級數的萊布尼茲判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法，絕對收斂級數的性質

十三、函數列與函數項級數

1 函數列與函數項級數的一致收斂性，柯西準則，函數項級數的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優級數判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法 2 函數列極限函數與函數項級數和函數的連續性、可積性、可微性

十四、冪級數

1 冪函數的收斂性，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，內閉一致收斂性，和函數的分析性質 2 函數的冪級數展開

十五、傅里葉級數

1 傅里葉級數的概念，三角函數系的正交性 2 以2L為周期的函數的展開式，奇式與偶式展開 3 收斂定理的證明

十六、多元函數的極限與連續

1 平面點集與多元函數 2 二元函數的極限，重極限與累次極限 3 二元函數的連續性，有界閉域(集)上連續函數的性質

十七、多元函數的微分學

1偏導數與全微分概念，可微性 2 復合函數微分法，高階導數，高階微分，混合偏導數與其順序無關性 3 方向導數與梯度 4 泰勒公式與極值問題

十八、隱函數定理及其應用

1隱函數的概念，隱函數定理 2隱函數組定理，隱函數組求導、反函數組與坐標變換，函數行列式及其性質 3 幾何應用(空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線) 4 條件極值與拉格朗日乘數法

十九、含參量積分

1 含參量正常積分，連續性、可積性與可微性 2 含參量反常積分的收斂與一致收斂，柯西準則，維爾特拉斯(Weierstrass)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法，含參量無窮積分的連續性，可積性與可微性 3 歐拉積分

二十、曲線積分

1第一型曲線積分的概念，性質和計算公式 2第二型曲線積分的概念，性質和計算公式，兩類曲線積分之間的關系

二十一、重積分

1 二重積分概念與性質 2 二重積分的計算(化為累次積分)，二重積分的換元法(極坐標與一般變換) 3. 格林(Green)公式，曲線積分與路線的無關性 3 三重積分的概念與計算，三重積分的換元法(柱坐標、球坐標與一般變換) 4 重積分的應用(體積、曲面面積等)

二十二、曲面積分

1第一型曲面積分的的概念與計算 2第二型曲面積分的概念與計算，兩類曲面積分之間的關系 3高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式