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2013考研大綱數學一變化——線性代數部分
考研數學大綱 來源：文都教育 2012-09-14
線性代數部分
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章節
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2012大綱
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2013大綱
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變化情況及復習策略
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一、行列式
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考試內容
行列式的概念和基本性質，行列式按行（列）展開定理
考試要求
1． 了解行列式的概念，掌握行列式的性質。
2． 會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。
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考試內容
行列式的概念和基本性質，行列式按行（列）展開定理
考試要求
1． 了解行列式的概念，掌握行列式的性質。
2. 會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。
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無變化，照常復習
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二、矩陣
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考試內容
矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉置，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價，分塊矩陣及其運算
考試要求
1． 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質。
2． 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。
3． 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
4． 理解矩陣的初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
5． 了解分塊矩陣及其運算。
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考試內容
矩陣的概念，矩陣的線性運算，矩陣的乘法，方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉置，逆矩陣的概念和性質，矩陣可逆的充分必要條件，伴隨矩陣，矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣的等價，分塊矩陣及其運算
考試要求
1． 理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質。
2． 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。
3． 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。
4． 理解矩陣的初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
5. 了解分塊矩陣及其運算。
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無變化，照常復習，注意矩陣的秩是矩陣的本質。
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三、向量
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考試內容
向量的概念，向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關與線性無關，向量組的極大線性無關組，等價向量組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關系，向量空間及其相關概念，n維向量空間的基變換和坐標變換，過渡矩陣，向量的內積，線性無關向量組的正交規范化方法，規范正交基，正交矩陣及其性質
考試要求
1． 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念。
2． 理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。
3． 理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4． 理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系。
5． 了解n維向量空間、子空間、基底、維數、坐標等概念。
6． 了解基變換和坐標變換公式，會求過渡矩陣。
7． 了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法。
8． 了解規范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質。
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考試內容
向量的概念，向量的線性組合與線性表示，向量組的線性相關與線性無關，向量組的極大線性無關組，等價向量組，向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩之間的關系，向量空間及其相關概念，n維向量空間的基變換和坐標變換，過渡矩陣，向量的內積，線性無關向量組的正交規范化方法，規范正交基，正交矩陣及其性質
考試要求
1． 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念。
2． 理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。
3． 理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。
4． 理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩之間的關系。
5． 了解n維向量空間、子空間、基底、維數、坐標等概念。
6． 了解基變換和坐標變換公式，會求過渡矩陣。
7． 了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規范化的施密特（Schmidt）方法。
8. 了解規范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質。
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無變化，照常復習，注意向量組的極大無關組是其核心。
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四、線性方程組
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考試內容
線性方程組的克萊姆（Crammer）法則，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構，齊次線性方程組的基礎解系和通解，解空間，非齊次線性方程組的通解
考試要求
1． 會用克萊姆法則。
2． 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3． 理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
4． 理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
5． 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
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考試內容
線性方程組的克拉默（Crammer）法則，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質和解的結構，齊次線性方程組的基礎解系和通解，解空間，非齊次線性方程組的通解
考試要求
1． 會用克拉默法則。
2． 理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
3． 理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法。
4． 理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。
5. 掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
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無變化，照常復習，注意線性方程組的解的結構。
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五、矩陣的特征值和特征向量
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考試內容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質，相似變換、相似矩陣的概念及性質，矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣，實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
考試要求
1． 理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣的特征值和特征向量。
2． 理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。
3． 掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。
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考試內容
矩陣的特征值和特征向量的概念、性質，相似變換、相似矩陣的概念及性質，矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣，實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣
考試要求
1． 理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣的特征值和特征向量。
2． 理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。
3. 掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。
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無變化，照常復習，注意特征值與特征向量的求取及其反問題。
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六、二次型
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考試內容
二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩，慣性定理，二次型的標準形和規范形，用正交變換和配方法化二次型為標準形，二次型及其矩陣的正定性
考試要求
1． 掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標準型、規范形的概念以及慣性定理。
2． 掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形。
3． 理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。
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考試內容
二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩，慣性定理，二次型的標準形和規范形，用正交變換和配方法化二次型為標準形，二次型及其矩陣的正定性
考試要求
1． 掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標準型、規范形的概念以及慣性定理。
2． 掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形。
3. 理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法。
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無變化，照常復習，注意二次型化標準形的方法。
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