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閩南師范大學2019年碩士研究生入學考試《高等代數》考試大綱

一、考試基本要求：

考察學生對《高等代數》的基本理論、基本方法和基本技能的掌握程度;考察學生抽象思維、邏輯推理和分析、解決問題的能力。

二、考試方法和時間

考試方法為筆試，考試時間為3個小時。

三、考核知識點

(一)多項式

整除理論：括整除性、帶余除法、最大公因式、互素的概念與性質;因式分解理論：括不可約多項式、因式分解定理、重因式、實系數與復系數多項的因式分解，有理系數多項式不可約的判定;根的理論：括多項式函數、多項式的根、有理系數多項式的有理根求法。

(二)行列式

行列式的定義、性質;行列式的按行(列)展開定理，Laplace展開定理;行列式的計算方法;克萊姆法則。

(三)線性方程組

線性方程組的解法——消元法;數域P上n維向量空間Pn及向量的線性相關性;線性方程組有解的判別定理;線性方程組解的結構及齊次線性方程組的解空間的討論。

(四)矩陣

矩陣的運算;初等變換與初等矩陣;可逆矩陣;分塊矩陣;矩陣的秩;矩陣的等價(即相抵)、合同、相似、正交相似;矩陣的可對角化問題。

(五)二次型

二次型的標準形與合同變換;復數域與實數域上二次型的標準形、規范形;正定二次型、半正定二次型及相應的矩陣類型。

(六)線性空間

線性空間的概念;基、維數與坐標;基變換與坐標變換;子空間、子空間的交與和、維數公式、子空間的直和;線性空間的同構。

(七)線性變換

線性映射與線性變換的概念、運算;線性變換的矩陣表示;線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值與特征向量;線性變換的值域與核;不變子空間;最小多項式。

(八)λ-矩陣

λ-矩陣在初等變換下的標準形;不變因子、矩陣相似的條件;初等因子、Jordan標準形。

(九)歐氏空間

向量內積;正交基(組)、標準正交基(組)、度量矩陣;正交變換與正交矩陣;子空間的正交關系、正交補;對稱變換與實對稱矩陣。

四、參考書目

北京大學數學系幾何與代數教研究前代數小組編，王萼芳、石生明修訂《高等代數》(第三版)，2003，高等教育出版社。

閩南師范大學數學與統計學院

2018年6月