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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《量子力學》考試大綱

本《量子力學》考試大綱適用于中國科學院大學物理學相關各專業(包括理論與實驗類)碩士研究生的入學考試。本科目考試的重點是要求熟練掌握波函數的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實際的應用。掌握量子力學中一些特殊的現象和問題的處理方法，包括力學量的算符表示、對易關系、不確定度關系、態和力學量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發射與吸收的半經典處理方法等，并具有綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

一. 考試內容：

(一) 波函數和薛定諤方程

波粒二象性，量子現象的實驗證實。波函數及其統計解釋，薛定諤方程，連續性方程， 波包的演化。能量本征值方程，定態與非定態。態疊加原理，測量與波包的塌縮。

(二) 一維勢場中的粒子

一維勢場中粒子能量本征態的一般性質，一維方勢阱的束縛態，方勢壘的穿透，方勢阱中的反射、透射與共振。 d-勢的穿透和d-勢阱中的束縛態，一維諧振子。

(三) 力學量用算符表示

各種算符的定義及算符的運算規則。 厄米算符的本征值與本征函數。不確定關系，共同本征函數，對易力學量的完全集。箱歸一化，連續本征函數的歸一化。力學量平均值隨時間的演化，量子力學的守恒量。波包的運動，Ehrenfest 定理。薛定諤-圖像與海森伯-圖像。

(四) 中心力場和電磁場中粒子的運動

兩體問題化為單體問題，球對稱勢和徑向方程，自由粒子和球形方勢阱，三維諧振子，氫原子及類氫離子。電磁場中的薛定諤方程，電磁場的規范不變性。正常Zeeman效應，Landau能級。

(五) 量子力學的矩陣表示與表象變換

態和算符的矩陣表示，表象變換，狄拉克符號，一維諧振子的占有數表象。

(六) 自旋及角動量的耦合

電子自旋態與自旋算符，總角動量的本征態，堿金屬原子光譜的雙線結構與反常塞曼效應，自旋單態與三重態，光譜線的精細和超精細結構，自旋糾纏態。角動量的本征值與本征態，兩個角動量的耦合，耦合表象及無耦合表象基矢。

(七) 定態問題的近似方法

定態非簡并微擾輪，定態簡并微擾輪，變分法。

(八) 量子躍遷

量子態隨時間的演化，突發微擾與絕熱微擾， 周期微擾和有限時間內的常微擾，光的吸收與輻射的半經典理論。

(九) 多體問題

全同粒子系統，氦原子，氫分子。

二.考試要求：

(一)波函數和薛定諤方程

1.了解波粒二象性假設的物理意義及其主要實驗事實。

2.熟練掌握波函數的標準化條件：有限性、連續性和單值性。深入理解波函數的概率解釋。

3.理解態疊加原理以及任何波函數按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義。

4.熟練掌握薛定諤方程的建立過程。深入了解定態薛定諤方程，定態與非定態波函數的意義及相互關系。了解連續性方程的推導及其物理意義。

(二)一維勢場中的粒子

1.熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。

2.熟練掌握一維無限深方勢阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢阱束縛態問題的求解方法。

3.熟練掌握勢壘貫穿的求解方法及隧道效應的解釋。掌握一維有限深方勢阱的反射、透射的處理方法及共振現象的發生。

4.熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態波函數的一般特點及其應用。

5.了解d--函數勢的處理方法。

( 三)力學量用算符表示

1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。

2.熟練掌握厄米算符的基本性質及相關的定理。

3.熟練掌握坐標算符、動量算符以及角動量算符，包括定義式、相關的對易關系及本征值和本征函數。

4.熟練掌握力學量取值的概率及平均值的計算方法。理解兩個力學量同時具有確定值的條件和共同本征函數。

5.熟練掌握不確定度關系的形式、物理意義及其一些簡單的應用。

6.理解力學量平均值隨時間變化的規律。掌握如何根據哈密頓算符來判斷該體系的守恒量。

(四)中心力場

1.熟練掌握兩體問題化為單體問題及分離變量法求解三維庫侖勢問題。

2.熟練掌握氫原子和類氫離子的能譜及基態波函數以及相關的物理量的計算。

3.了解球形無窮深方勢阱及三維各向同性諧振子的基本處理方法。

(五) 量子力學的矩陣表示與表象變換

1.理解力學量所對應的算符在具體表象的矩陣表示。

2.了解表象之間幺正變換的意義和基本性質。

3.掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法。

4.了解狄拉克符號的意義及基本應用。

5.熟練掌握一維簡諧振子的代數解法和占有數表象。

(六) 自旋

1.了解斯特恩—蓋拉赫實驗。電子自旋回轉磁比率與軌道回轉磁比率。

2.熟練掌握自旋算符的對易關系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)、與自旋相聯系的測量值、概率和平均值等的計算以及其本征值方程和本征矢的求解方法。

3.了解電磁場中的薛定諤方程和簡單塞曼效應的物理機制。

4.了解自旋-軌道藕合的概念、總角動量本征態的求解及堿金屬原子光譜的精細和超精細結構。

5. 熟練掌握自旋單態與三重態求解方法及物理意義，了解自旋糾纏態概念。

(七)定態問題的近似方法

1.了解定態微擾論的適用范圍和條件。

2.掌握非簡并的定態微擾論中波函數一級修正和能級一級、二級修正的計算。

3.掌握簡并微擾論零級波函數的確定和一級能量修正的計算。

4.掌握變分法的基本應用。

(八)量子躍遷

1.了解量子態隨時間演化的基本處理方法。掌握量子躍遷的基本概念。

2.了解突發微擾、絕熱微擾及周期微擾和有限時間內的常微擾的躍遷概率計算方法。

3.了解光的吸收與輻射的半經典理論，特別是選擇定則的定義及其作用。

4.了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋。

(九)多體問題

1.了解量子力學全同性原理及其對于多體系統波函數的限制。

2.了解費米子和波色子的基本性質和泡利原理。

3.了解氦原子及氫分子的基本近似求解方法以及解的物理討論。

三.主要參考書目：

《量子力學教程 》 曾謹言著(科學出版社 2003年第1版)。