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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《高等代數(shù)》考試大綱

本《高等代數(shù)》考試大綱適用于中國科學院大學數(shù)學和系統(tǒng)科學等學科各專業(yè)碩士研究生入學考試。高等代數(shù)是大學數(shù)學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學生的必修基礎課。它的主要內(nèi)容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數(shù)。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時間

高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

三、考試內(nèi)容

(一) 多項式

1. 一元多項式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別;

2. 復根存在定理;

3. 根與系數(shù)關系;

4. Sturm定理。

(二) 行列式

1. 行列式的置換、對換、置換奇偶性;

2. 行列式的定義，基本性質(zhì)及計算;

3. Vandermonde行列式;

4. 行列式的代數(shù)余子式、Cramer法則。

(三) 矩陣

1. 矩陣基本運算、分塊矩陣運算;

2. 初等矩陣、初等變換和矩陣的秩;

3. 矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式;

4. 行列式乘積定理;

5. 矩陣和轉(zhuǎn)置、Hermite共軛;

6. 對角陣、三角陣、三對角陣;

7. 矩陣的跡、方陣多項式;

8. 廣義逆矩陣。

(四) 線性方程組求解

1. 線性方程組有解的充分必要條件;

2.Gauss消元法;

3.三角分解。

(五) 線性空間和線性變換;

1. 向量的線性相關和線性無關;

2. 線性空間的定義及性質(zhì);

3. 向量組的秩、線性空間的基及坐標;

4. 線性變換的矩陣表示;

5. 矩陣相似;

6. 不變子空間;

7. 子空間的直接和、維數(shù)公式;

8. 線性空間的同構(gòu)。

(六) 特征值和特征向量

1. 特征值和特征多項式;

2. 特征向量、特征子空間、度數(shù)和重數(shù);

3. 非虧損矩陣的完全特征向量系和譜分解;

4. 特征值估計的圓盤定理;

5. 三對角矩陣的特征值與Sturm定理。

(七) 內(nèi)積空間和等積變換

1. Euclid空間的標準正交基，施密特(Schmidt)正交化;

2. Gram行列式;

3. 正交變換及其矩陣表示;

4. 初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換;

5. QR分解;

6. 酉空間和酉變換;

7. 正交相似變換和酉相似變換;

8. 向量到子空間的距離、最小二乘。

(八) 二次型和對稱矩陣

1. 二次型及其標準形、慣性定理;

2. 實對稱矩陣正定的充分必要條件;

3. Rayleign商;

4. 極大-極小原理、極小-極大原理;

5. 正定矩陣的開方和Cholesky分解;

6. Hermite型和Hermite矩陣;

7. 正規(guī)矩陣。

(九) Jordan標準形

1. 向量的最小化零多項式;

2. 線性變換及矩陣的最小多項式;

3. 矩陣的Jordan標準形及其唯一性;

4. 初等因子和不變因子;

5. 矩陣函數(shù)。

(十) 極限和范數(shù)

1. 向量和矩陣的極限;

2. 向量范數(shù)和范數(shù)等價定理;

3. 相容范數(shù)和從屬范數(shù);

4. 矩陣依范數(shù)的收斂性。

四、掌握重點

(一) 行列式乘積定理及其應用

(二) 分塊矩陣運算及其應用

(三) 矩陣三角分解及其應用

(四) 矩陣的秩及其應用

(五) 線性空間的概念及性質(zhì)

(六) 線性變換下的不變子空間及其矩陣表示

(七) 圓盤定理與特征值估計

(八) 二次型的標準形

(九) 實對稱矩陣及其性質(zhì)

(十) 矩陣Jordan標準型的計算及其應用

(十一) 矩陣范數(shù)與矩陣收斂

五、主要參考書目

[1] 北京大學編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷.

[2] 復旦大學蔣爾雄等編《線性代數(shù)》，人民教育出版社，1988.

[3] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 1997.