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中國科學院大學碩士研究生入學考試

高等數學(甲)考試大綱

考 試 性 質

中國科學院大學碩士研究生入學高等數學(甲)考試是為招收理學非數學專業碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數學素質，包括對高等數學各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學考試、并報考理論物理、原子與分子物理、粒子物理與原子核物理、等離子體物理、凝聚態物理、天體物理、天體測量與天體力學、空間物理學、光學、物理電子學、微電子與固體電子學、電磁場與微波技術、物理海洋學、海洋地質、氣候學等專業的考生。

考試的基本要求

要求考生系統地理解高等數學的基本概念和基本理論，掌握高等數學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

考試方法和考試時間

高等數學(甲)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

四、考試內容和考試要求

(一)函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形

數列極限與函數極限的概念 無窮小和無窮大的概念及其關系 無窮小的性質及無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限：

函數連續的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續性 閉區間上連續函數的性質 函數的一致連續性概念

考試要求

1. 理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。

2. 理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數這些性質的方法。

3. 理解復合函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。會求給定函數的復合函數和反函數。

4. 掌握基本初等函數的性質及其圖形。

5. 理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。

6. 掌握極限的性質及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。

7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

9. 理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型。

10. 掌握連續函數的運算性質和初等函數的連續性，熟悉閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并會應用這些性質。

11.理解函數一致連續性的概念。

(二)一元函數微分學

考試內容

導數的概念 導數的幾何意義和物理意義 函數的可導性與連續性之間的關系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數的導數 導數的四則運算 復合函數、反函數、隱函數的導數的求法 參數方程所確定的函數的求導方法 高階導數的概念 高階導數的求法 微分的概念和微分的幾何意義 函數可微與可導的關系 微分的運算法則及函數微分的求法 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 微分中值定理 洛必達(L’Hospital)法則 泰勒(Taylor)公式 函數的極值 函數最大值和最小值 函數單調性 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數圖形的描繪 弧微分及曲率的計算

考試要求

1. 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，掌握函數的可導性與連續性之間的關系。

2. 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的求導公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3. 了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

4. 會求分段函數的一階、二階導數。

5. 會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數

6. 會求反函數的導數。

7. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

8. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。

9. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。

10. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

11.了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

(三)一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 變上限定積分定義的函數及其導數 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 廣義積分(無窮限積分、瑕積分) 定積分的應用

考試要求

1. 理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2. 熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理。掌握牛頓-萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。

3. 會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。

4. 理解變上限定積分定義的函數，會求它的導數。

5. 理解廣義積分(無窮限積分、瑕積分)的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。

6. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力)及函數的平均值。

(四)向量代數和空間解析幾何

考試內容

向量的概念 向量的線性運算 向量的數量積、向量積和混合積 兩向量垂直、平行的條件 兩向量的夾角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量 方向數與方向余弦 曲面方程和空間曲線方程的概念 平面方程、直線方程 平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件 點到平面和點到直線的距離 球面 母線平行于坐標軸的柱面 旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程 常用的二次曲面方程及其圖形 空間曲線的參數方程和一般方程 空間曲線在坐標面上的投影曲線方程

考試要求

1. 熟悉空間直角坐標系，理解向量及其模的概念。

2. 熟練掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積)，掌握兩向量垂直、平行的條件。

3. 理解向量在軸上的投影，了解投影定理及投影的運算。理解方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，會用坐標表達式進行向量的運算。

4. 熟悉平面方程和空間直線方程的各種形式，熟練掌握平面方程和空間直線方程的求法。

5. 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題。

6. 會求空間兩點間的距離、點到直線的距離以及點到平面的距離。

7. 了解空間曲線方程和曲面方程的概念。

8. 了解空間曲線的參數方程和一般方程。了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。

9. 了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

(五)多元函數微分學

考試內容

多元函數的概念 二元函數的幾何意義 二元函數的極限和連續 有界閉區域上多元連續函數的性質 多元函數偏導數和全微分的概念及求法 全微分存在的必要條件和充分條件 多元復合函數、隱函數的求導法 高階偏導數的求法 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 方向導數和梯度 二元函數的泰勒公式 多元函數的極值和條件極值 拉格朗日乘數法 多元函數的最大值、最小值及其簡單應用 全微分在近似計算中的應用

考試要求

1. 理解多元函數的概念、理解二元函數的幾何意義。

2. 理解二元函數的極限與連續性的概念及基本運算性質，了解二元函數累次極限和極限的關系 會判斷二元函數在已知點處極限的存在性和連續性 了解有界閉區域上連續函數的性質。

3. 理解多元函數偏導數和全微分的概念 了解二元函數可微、偏導數存在及連續的關系，會求偏導數和全微分，了解二元函數兩個混合偏導數相等的條件 了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4. 熟練掌握多元復合函數偏導數的求法。

5. 熟練掌握隱函數的求導法則。

6. 理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。

7. 理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8. 了解二元函數的二階泰勒公式。

9. 理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

10. 了解全微分在近似計算中的應用

(六)多元函數積分學

考試內容

二重積分、三重積分的概念及性質 二重積分與三重積分的計算和應用 兩類曲線積分的概念、性質及計算 兩類曲線積分之間的關系 格林(Green)公式 平面曲線積分與路徑無關的條件 已知全微分求原函數 兩類曲面積分的概念、性質及計算 兩類曲面積分之間的關系 高斯(Gauss)公式 斯托克斯(Stokes)公式 散度、旋度的概念及計算 曲線積分和曲面積分的應用

考試要求

1. 理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質。

2. 熟練掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)，掌握二重積分的換元法。

3. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。熟練掌握計算兩類曲線積分的方法。

4. 熟練掌握格林公式，會利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無關的條件。會求全微分的原函數。

5. 理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質及兩類曲面積分的關系。熟練掌握計算兩類曲面積分的方法。

6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，會利用它們計算曲面積分和曲線積分。

7. 了解散度、旋度的概念，并會計算。

8. 了解含參變量的積分和萊布尼茨公式。

9. 會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長、物體的質量、重心、轉動慣量、引力、功及流量等)。

(七)無窮級數

考試內容

常數項級數及其收斂與發散的概念 收斂級數的和的概念 級數的基本性質與收斂的必要條件 幾何級數與p級數及其收斂性 正項級數收斂性的判別法 交錯級數與萊布尼茨定理 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 函數項級數的收斂域、和函數的概念 冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域 冪級數在其收斂區間內的基本性質 簡單冪級數的和函數的求法 泰勒級數 初等函數的冪級數展開式 函數的冪級數展開式在近似計算中的應用 函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數 狄利克雷(Dirichlet)定理 函數在[-l，l]上的傅里葉級數 函數在[0，l]上的正弦級數和余弦級數。函數項級數的一致收斂性。

考試要求

1. 理解常數項級數的收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件

2. 掌握幾何級數與p級數的收斂與發散情況。

3. 熟練掌握正項級數收斂性的各種判別法。

4. 熟練掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。

5. 理解任意項級數的絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。

6. 了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

7. 理解冪級數的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑及收斂域的求法。

8. 了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質(和函數的連續性、逐項微分和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。

9. 了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。

10. 掌握一些常見函數如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

11. 會利用函數的冪級數展開式進行近似計算。

12.了解傅里葉級數的概念和狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在[0，l]上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會將周期為2l的函數展開為傅里葉級數。

13. 了解函數項級數的一致收斂性及一致收斂的函數項級數的性質，會判斷函數項級數的一致收斂性。

(八)常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降價的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常系數齊次線性微分方程 二階常系數非齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數齊次線性微分方程 歐拉(Euler)方程 微分方程的冪級數解法 簡單的常系數線性微分方程組的解法 微分方程的簡單應用

考試要求

1. 掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數變易法。

3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。

4. 會用降階法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )

5. 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數變易法。

6. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7. 會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數、以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

8. 會解歐拉方程。

9. 了解微分方程的冪級數解法。

10.了解簡單的常系數線性微分方程組的解法。

11 會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

五、主要參考文獻

《高等數學》(上、下冊)，同濟大學數學教研室主編，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一個版本均可。