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2019年全國碩士研究生入學(xué)考試

湖北師范大學(xué)自命題考試科目考試大綱

(科目名稱：數(shù)學(xué)分析 一 科目代碼:601)

一、考查目標

數(shù)學(xué)分析科目考試內(nèi)容包括極限與連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級數(shù)要求考生系統(tǒng)掌握相關(guān)內(nèi)容的基本知識、基礎(chǔ)理論、基本方法、基本計算，并能運用相關(guān)理論和方法分析、解決實際問題。

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

(一)試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

(二)答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

(三)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

各部分內(nèi)容所占分值為：

極限與連續(xù) 約40分

一元微積分 約40分

多元微積分 約40分

無窮級數(shù) 約30分

(四)試卷題型結(jié)構(gòu)

計算題：4小題，每小題15分，共60分

證明題：6小題，每小題15分，共90分

(五)主要參考書目

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編：《數(shù)學(xué)分析》(第三版)，高等教育出版社2001年。

三、考查范圍

(一)考查目標

1、系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)分析原理的基本概念、基礎(chǔ)知識、基本理論和基本計算。

2、掌握和理解極限理論和方法，由此而產(chǎn)生的連續(xù)性、微分學(xué)、積分學(xué)和無窮級數(shù)。

3、能靈活運用基本定理和基本方法證明問題，能靈活運用基本公式計算問題，以及綜合運用。

(二)考試內(nèi)容

一)集合與函數(shù)

1. 實數(shù)集

、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。

 

2.

上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界(無界)集、 上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復(fù)蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在 上的推廣。

 

3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì)。

二)極限與連續(xù)

1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)(極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì))。

2. 數(shù)列收斂的條件(Cauchy準則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系)，極限

及其應(yīng)用。

 

3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)(唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性)，歸結(jié)原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限

及其應(yīng)用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系。

 

4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)(局部有界性、保號性)，有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性)。

三)一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性。

2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)。

3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達(L'Hospital)法則、近似計算。

四)多元函數(shù)微分學(xué)

1. 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)��?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏導(dǎo)數(shù)與順序無關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。

2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標變換。

3.幾何應(yīng)用(平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線)。

4.極值問題(必要條件與充分條件)，條件極值與Lagrange乘數(shù)法。

五)一元函數(shù)積分學(xué)

1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法(直接積分法、換元法、分部積分法)、有理函數(shù)積分：

型， 型。

 

2. 定積分及其幾何意義、可積條件(必要條件、充要條件：

)、可積函數(shù)類。

 

3. 定積分的性質(zhì)(關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中值定理)、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理。

4.無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、

非負時 的收斂性判別法(比較原則、柯西判別法)、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法。

 

5. 微元法、幾何應(yīng)用(平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積)，及其它應(yīng)用。

六)多元函數(shù)積分學(xué)

1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算(化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換)。

2.三重積分、三重積分計算(化為累次積分、柱坐標、球坐標變換)。

3.重積分的應(yīng)用(體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等)。

4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。

5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算。

6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算;Green公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

7.曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系。

七)無窮級數(shù)

1. 數(shù)項級數(shù)

級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì);正項級數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式;交錯級數(shù)的Leibniz判別法;一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法。

2. 函數(shù)項級數(shù)

函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法(M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法)、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。

3.冪級數(shù)

冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級數(shù)展開、Taylor級數(shù)、Maclaurin級數(shù)。

4.Fourier級數(shù)

三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2

及2 周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級數(shù)的收斂性定理。