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601-《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、基本要求

1、函數(shù)、極限、連續(xù)

理解函數(shù)的概念，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系;了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性;理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念;掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，了解初等函數(shù)的概念;理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系;掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則;掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法;理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限;理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型;了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用。

2、一元函數(shù)微分學(xué)

理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系;掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分;了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù);會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理;掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法;理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用;會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線。

3、一元函數(shù)積分學(xué)

理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念;掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法;會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分;理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式;了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分;掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)。

4、向量代數(shù)和空間解析幾何

掌握向量的運(yùn)算，了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件;理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.;會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題;會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離;了解曲面方程和空間曲線方程的概念;了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡(jiǎn)單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程;了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程;了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程。

5、多元函數(shù)微分學(xué)

理解多元函數(shù)的概念;了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性;理解方向?qū)��?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法;掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法;了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù);了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程;了解二元函數(shù)的二階泰勒公式;理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

6、多元函數(shù)積分學(xué)

理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì);掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會(huì)計(jì)算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo));理解兩類(lèi)曲線積分的概念，了解兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系;掌握計(jì)算兩類(lèi)曲線積分的方法;掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù);了解兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類(lèi)曲面積分的方法，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分;了解散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算;會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。

7、無(wú)窮級(jí)數(shù)

理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件;.掌握幾何級(jí)數(shù)與p-級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件;掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法;掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法;了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系;了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念;理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法;了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和;了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件;掌握函數(shù)的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù);了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。

8、常微分方程

了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念;掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法;會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程;會(huì)用降階法解微分方程;理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu);掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程;會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程;會(huì)解歐拉方程;會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

二、考試范圍

1、函數(shù)、極限、連續(xù)

函數(shù)的概念、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù);數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限與右極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限;函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

2、一元函數(shù)微分學(xué)

導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線和法線，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達(dá)(L’Hospital)法則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)的最大值和最小值。

3、一元函數(shù)積分學(xué)

原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓一萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分，反常(廣義)積分，定積分的應(yīng)用。

4、向量代數(shù)和空間解析幾何

向量的概念，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積和向量積，向量的混合積，兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，單位向量，方向數(shù)與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件，點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離，球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。

5、多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)��?shù)和梯度，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數(shù)的二階泰勒公式，多元函數(shù)的極值和條件極值，多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

6、多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用，兩類(lèi)曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系，格林(Green)公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，二元函數(shù)全微分的原函數(shù)，兩類(lèi)曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式，散度、旋度的概念及計(jì)算，曲線積分和曲面積分的應(yīng)用。

7、無(wú)窮級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p-級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)，狄利克雷(Dirichlet)定理，函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。

8、常微分方程

常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，伯努利(Bernoulli)方程，全微分方程，可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程，簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，歐拉(Euler)方程，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用。